新SAT考試數(shù)學(xué)詳解

“最為必要的數(shù)學(xué)”，根據(jù)CB的解釋，是指“集中于對大學(xué)和職業(yè)的準(zhǔn)備和成功最為重要的數(shù)學(xué)，即在大學(xué)課程和職業(yè)環(huán)境中可以證明是最為有用的數(shù)學(xué)”。CB如此選擇，是因為“對學(xué)生而言，相比于試圖在很大的數(shù)學(xué)專題范圍內(nèi)掌握寬泛的知識，只將某些內(nèi)容知道清楚更加有助于適用范圍較大的準(zhǔn)備工作。”

關(guān)于“豐富地應(yīng)用”，CB認(rèn)為，“數(shù)學(xué)的概念、技能和實踐是學(xué)生在大學(xué)課程、職業(yè)訓(xùn)練和職業(yè)機(jī)會中能夠進(jìn)步的前提和中心”。并且指出，“考試涵蓋所有數(shù)學(xué)實踐，并且強(qiáng)調(diào)問題解決、建模、有策略地使用合適的工具，以及尋找并利用做代數(shù)的結(jié)構(gòu)”。

“現(xiàn)實世界的情況和問題”導(dǎo)致了新SAT數(shù)學(xué)部分與現(xiàn)行SAT數(shù)學(xué)部分的一個顯著區(qū)別，即有更多題目將問題情境取材于現(xiàn)實生活，并且不可避免地導(dǎo)致題目呈現(xiàn)上文字長度和難度的增加。這一點，可以通過對比新舊官方指南中的題目而明顯感知。

基于以上的基本認(rèn)識，本文如下從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力、題目呈現(xiàn)等三個角度，對新SAT的數(shù)學(xué)部分進(jìn)行簡要分析。

一、數(shù)學(xué)知識：

對照現(xiàn)行SAT，新SAT考查的數(shù)學(xué)知識有三個明顯特征：

1. 強(qiáng)調(diào)代數(shù)的核心位置：

CB認(rèn)為，“代數(shù)是高中數(shù)學(xué)很多內(nèi)容的語言，并且是高等數(shù)學(xué)和高等教育很多學(xué)科的先修要求”，代數(shù)的核心涉及分析、求解和創(chuàng)建一次方程、不等式或方程。代數(shù)的學(xué)科基礎(chǔ)性和學(xué)習(xí)必要性使得新SAT的數(shù)學(xué)部分強(qiáng)調(diào)了代數(shù)學(xué)的核心。因此，“代數(shù)核心”作為與“問題解決與數(shù)據(jù)分析”、“高等數(shù)學(xué)預(yù)備”、“附加課題”并列的領(lǐng)域之一，在題目數(shù)量上占有大致三分之一的份額。

2. 擴(kuò)大考查的知識范圍：

復(fù)數(shù)和三角函數(shù)是被排除在現(xiàn)行SAT數(shù)學(xué)部分的考查知識范圍之外的，而在新SAT中，這兩項作為“附加課題”的內(nèi)容被納入考查范圍。新OG中這兩項內(nèi)容的考查難度不高，僅限于基本運算或基本結(jié)論。例如，復(fù)數(shù)部分考查了形如(a+bi)+(c+di)的加法和形如(a+bi)/(c+di)的除法【Test 2 Section 3 #11】;三角函數(shù)部分的考查涉及諸如sinA=cos(90º-A)的基本結(jié)論【Test 3 Section 4 #23】。

3. 增大數(shù)據(jù)分析的比重：

數(shù)據(jù)分析作為“問題解決與數(shù)據(jù)分析”領(lǐng)域的組成部分，在新SAT中被賦予更大的比重。雖然新OG題目中涉及的統(tǒng)計圖表(柱狀圖、折線圖、散點圖、二維表等)在舊OG或現(xiàn)行SAT題目中出現(xiàn)過，但是新OG題目顯示出了對二維表和散點圖的偏愛。二維表中數(shù)字的個數(shù)和量值可以比較多和大【Test 1 Section 4 #22-23】，散點圖可以與最佳擬合線、變量的相關(guān)關(guān)系、變量的擬合模型等概念結(jié)合，這些為命題人留出了很大的發(fā)揮空間【Test 2 Section 4 #20】【Test 1 Section 4 #5】。

二、數(shù)學(xué)能力：

1. 計算

新OG中的題目對考生的計算能力提出了較高的要求。計算內(nèi)容上，數(shù)的運算之外，考生也需要熟練進(jìn)行整式的加、減、乘、除運算。此外，計算量和時間限制之間的矛盾，也是考生需要面對的一個重要挑戰(zhàn)，尤其是在不可使用計算器的Section3。為了化解這個矛盾，考生一方面需要提高計算操作的熟練程度，一方面也需要基于觀察、推理等，根據(jù)題目特征簡化計算過程。后者的“取巧”傾向，實際上是繼承了現(xiàn)行SAT數(shù)學(xué)部分的風(fēng)格，但是在新SAT數(shù)學(xué)部分，這需要考生對題目內(nèi)容有更深的理解和更強(qiáng)的敏感，而節(jié)省下來的時間，則可以認(rèn)為是對這種深理解和強(qiáng)敏感的獎勵。感興趣的讀者可以嘗試新OG Test 2中Section 3的第9題和Section 4的第28題【Test 2 Section 3 #9】【Test 2 Section 4 #28】。

2. 推理

在新SAT數(shù)學(xué)題目中，恰當(dāng)?shù)耐评沓�了可以幫助減少計算量，也是部分題目所必須。事實上，推理是數(shù)學(xué)活動的重要部分。CB指出：“考試涵蓋所有數(shù)學(xué)實踐，并且強(qiáng)調(diào)問題解決、建模、有策略地使用合適的工具，以及尋找并利用代數(shù)的結(jié)構(gòu)”。其中提到的問題解決、建模、有策略地使用工具、尋找并利用代數(shù)結(jié)構(gòu)等，皆需要推理過程的支撐。此外，在現(xiàn)行SAT和新SAT中，都有邏輯推理的題目，前者側(cè)重于命題(例如，命題的等價和反例的特征)，后者側(cè)重于因果關(guān)系的確立，例如新OG Chapter 20 Example 15和Test 3 Section 4的第15題。【P262 Example 15】【Test 2 Section 3 #11】

3. 建模

模型是連接在現(xiàn)實世界和數(shù)學(xué)理論之間的橋梁。由于新SAT的數(shù)學(xué)部分中面向現(xiàn)實世界的題目比重的增加，模型作為一種方法或工具，其重要性得到突顯。在這樣的背景下，方程、不等式、函數(shù)的形式，以及其中的常量或變量具有了現(xiàn)實意義。新OG中，有的題目問及這些常量或變量的實際含義【Test 3 Section 3 #1】【Test 4 Section4 #37】，有的題目則涉及方程、不等式、函數(shù)的形式與現(xiàn)實問題特征之間的聯(lián)系【Test 3 Section 3 #15】【Test 4 Section 4 #20】，也有的題目根據(jù)給定的模型進(jìn)行相應(yīng)運算，計算數(shù)值【Test 2 Section 4 #37-38】或等式變形【Test 1 Section 3 #7】。雖然現(xiàn)行SAT數(shù)學(xué)部分中也有函數(shù)表示模型的題目，但是題目大多只需要代入變量進(jìn)行運算即可，幾乎不需要從模型的角度對函數(shù)進(jìn)行把握。

三、題目呈現(xiàn)：

1. 單詞數(shù)量：

新SAT數(shù)學(xué)題目的文字長度明顯大于現(xiàn)行SAT數(shù)學(xué)題目。以新OG Test 1和舊OG Test 1的對比為例。新OG Test 1數(shù)學(xué)每道題目題干平均單詞數(shù)在45左右，最長的可以達(dá)到100;而舊OG Test 1數(shù)學(xué)部分每道題目題干部分的平均單詞數(shù)則不到30，長度超過50個單詞的題目整套最多一兩道而已。

2. 文字難度

文字難度的衡量，我們借用閱讀中量化測量文本復(fù)雜性的方式，對數(shù)學(xué)題的題干進(jìn)行了Flesch-Kincaid Grade Level的測試。簡單的說，如果這個level的數(shù)值是9.6，大致表明這段文字比較適合9-10年級的學(xué)生理解。數(shù)值越高，對應(yīng)越高的年級。

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